Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Содержание задач

Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф. Мостеллер, перев. с англ., издание второе. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975, 112 с.

1. Ящик с носками
В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна 1/2.
(а). Каково минимальное возможное число носков в ящике?
(б). Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?

2. Последовательные выигрыши
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец - чемпион - отец или чемпион - отец - чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца.
Какую схему следует выбрать сыну?

3. Легкомысленный член жюри
В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

4. Испытания до первого успеха
Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?

5. Монета в квадрате
В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету.
Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол?

6. «Попытай счастья»
«Попытай счастья» - азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.)

7. Переубеждение упрямого игрока
Браун всегда ставит один доллар на номер 13 в американской рулетке, вопреки совету своего благожелательного друга. Чтобы отучить Брауна от игры в рулетку, этот друг спорит с ним на 20 долларов, утверждая, что Браун останется в проигрыше после 36 игр.
Имеет ли смысл Брауну принять такое пари?
(Большинство американских рулеток имеет 38 одинаково вероятных номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает свою ставку обратно, плюс же сумму в 35-кратном размере, если нет - теряет свою ставку.)

8. Масть при игре в бридж
Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти? (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)

9. «Крэпс»
Игра в «крэпс», для которой нужна только пара костей и совсем немного времени - одна из популярнейших в Америке. С ней связана следующая поучительная задача на подсчет вероятностей.
Правила такие. Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. Всякая другая сумма - это его «пойнт». Если в первый раз выпадает «пойнт», то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет, выбросив свой «пойнт», или не проиграет, получив сумму очков, равную 7.
Какова вероятность выигрыша?

10. Эксперимент по психологии азартных игроков
(а). Урна содержит 10 черных и 10 белых шаров, отличающихся лишь цветом. Один шар вытаскивается наружу, и если его цвет совпадает с выбранным вами, то вы получаете 10 долларов, в ином случае - ничего.
Сообщите максимальный взнос, который вы готовы сделать для участия в игре. Игра проводится лишь один раз.
(б). У вашего друга имеется много белых и черных шаров, и он заполняет ими урну по своему усмотрению. Вы выбираете «черное» или «белое», после чего из урны наудачу вытягиваете шар.

Какую максимальную сумму вы готовы заплатить за участие в игре? Игра проводится только один раз.

Задачи без структуры (11 и 12)

О. Хелмер и Дж. Уильяме обратили внимание автора на ряд задач, которые они называют «задачами без структуры», но которые все же имеют вероятностный характер, хотя и не в обычном смысле.

11. Молчаливый союз
Двум незнакомым людям предлагается загадать произвольное натуральное число, причем если они оба называют одно и то же число, то получают премию. Какое бы число загадали вы?

12. Quo Vadis?
Двое незнакомых людей, договорившись о том, как узнать друг друга, должны встретиться в определенный день и час в Нью-Йорке, городе, которого они оба не знают. Однако они забыли назначить место встречи. Куда им следует направиться, если они все же попытаются встретиться?
Примечания:
Quo Vadis? - Куда идешь? (лат.)
Для решения задачи нужно, конечно, знакомство с наиболее часто посещаемыми местами Нью-Йорка. См. обсуждение задачи (прим, перев.)

13. Дилемма узника
Три узника, A, B и C, одинаково хорошего поведения ходатайствовали об освобождении на поруки. Администрация решила освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного A в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но A считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он, A, освобожден. Все же A хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого A, который будет отпущен на свободу. Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. A думает, что если охранник скажет «B будет освобожден», то его шансы уменьшатся до 1/2, так как в этом случае будут освобождены либо A и B, либо B и C.
Однако A ошибается в своих расчетах. Объясните это.

14. Выбор купонов
Купоны в коробках занумерованы цифрами от 1 до 5, и для того, чтобы выиграть, надо набрать полный комплект из пяти купонов с разными номерами. Если из коробки вынимается один купон, то сколько коробок в среднем надо испытать, чтобы получить полный комплект?

15. В театре
Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест.
Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары?

16. Выйдет ли второй в финал?
В теннисном турнире участвуют 8 игроков. Номер, вытаскиваемый игроком наудачу, определяет его положение в турнирной лестнице (рис. 1).
Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Проигрывающий в финале занимает второе место. Какова вероятность того, что это место займет второй по мастерству игрок?

Рис. 1. Турнирная лестница для 8 участников.

17. Рыцари-близнецы
(а). Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором, так же как и в теннисе, порядок состязания определяется жребием (см. задачу 16). Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца.
Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?
(б). Каков ответ в случае 2ⁿ рыцарей?

18. Равновесие при бросании монет
При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?

19. Задача Сэмуэля Пепайса
С. Пепайс предложил Исааку Ньютону следующую задачу: Какое из событий более вероятно:
(а) появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей,
(б) появление хотя бы двух при подбрасывании 12 костей и
(в) появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?

20. Трехсторонняя дуэль
A, B и C сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для A вероятность попасть в цель равна 0.3, для C - 0.5, а B стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет A, затем B, дальше C и т. д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым.
Какой должна быть стратегия A?

21. Выборка с возвращением или без возвращения?
Две урны содержат красные и черные шары, не различимые на ощупь. Урна A содержит 2 красных и 1 черный шар, урна В - 101 красный и 100 черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн, и вы получаете награду, если правильно называете урну после вытаскивания двух шаров из нее. После вытаскивания первого шара и определения его цвета вы решаете, вернуть ли в урну этот шар перед вторым вытаскиванием.
Какой должна быть ваша стратегия?

22. Выборы
После выборов, в которых участвуют два кандидата, A и B, за них поступило a и b (a > b) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2.
Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за А и В, было одинаково?

23. Ничьи при бросании монеты
Игроки A и B в орлянку играют N раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?

24. Странное метро
Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

25. Длины случайных хорд
Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

26. Нетерпеливые дуэлянты
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится.
Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

27. Осторожный фальшивомонетчик
(а). Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков.
Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?
(б). Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на n?

28. Жадный фальшивомонетчик
Чеканщик кладет m фальшивых монет в ящик, содержащий всего n монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из n ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из n монет ровно r фальшивых?

29. Заплесневевший желатин
Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии-плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии.
Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии?
Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу m, то какая доля пластинок содержит ровно m колоний?

30. Расчет булочника
Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)

Задачи о днях рождения (31, 32, 33, 34)

31. Парные дни рождения
При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? (Годы рождения могут и не совпадать.)

32. В поисках парных дней рождения
Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем 1/2?

33. Соотношение между разными задачами о парных днях рождения
Пусть P_r обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в r человек имеют один и тот же день рождения.
Каково должно быть n в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы P_r?

34. Выходные дни и дни рождения
Согласно законам о трудоустройстве в городе N, наниматели обязаны предоставлять всем рабочим выходной, если хотя бы у одного из них день рождения, и принимать на службу рабочих независимо от их дня рождения. За исключением этих выходных рабочие трудятся весь год из 365 дней. Предприниматели хотят максимизировать среднее число человеко-дней в году. Сколько рабочих трудятся на фабрике в городе N?

35. На краю утеса
Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

36. Разорение игрока
У игрока M имеется 1 доллар, а у игрока N - 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок M более искусен, чем N, так что он выигрывает 2/3 игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для M?

37. Смелая игра и осторожная игра
Человеку, находящемуся в Лас-Вегасе, нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он не хочет телеграфировать жене о переводе денег и решает играть в рулетку (отрицательно относясь к этой игре) согласно одной из двух стратегий:
▪   Поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет.
▪   Ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов.
Какая из этих двух стратегий лучше?

38. Толстая монета
Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3?
Для решения следующих задач нужно знакомство с принципом симметрии.

39. Неуклюжий химик
В лаборатории имеется несколько стеклянных трубок, каждая длиной в 9 см, помеченных с одного конца красной меткой, а с другого - синей. Споткнувшийся лаборант роняет эти трубки на пол, в результате чего многие из них разбиваются на три части. Какова для таких трубок средняя длина куска с синен меткой?

40. Первый туз
Из хорошо перетасованной колоды в 52 карты, содержащей четыре туза, извлекаются сверху карты до появления первого туза. На каком месте в среднем появляется первый туз?

41. Задача о поездах(а). На железной дороге N поездов с номерами 1, 2,  ..., N. Однажды вам встретился поезд с номером 60. Угадайте, сколько поездов на железной дороге.
(б). Вы повстречали 5 поездов, причем 60 по-прежнему наибольший номер. Снова постарайтесь угадать, сколько всего поездов на железной дороге.

42. Короткий кусок стержня
(а). Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?
(б). (Для лиц, знакомых с интегральным исчислением.) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?

43. Сломанный стержень
Стержень ломается случайным образом на три части. Найти средние длины короткого, среднего и длинного кусков.

44. Выигрыш в небезобидной игре
Игра состоит из последовательности . партий, в каждой из которых вы или ваш партнер выигрывает очко, вы - с вероятностью p (меньшей, чем 1/2), он - с вероятностью 1 - p. Число игр должно быть четным: 2, 4, 6 и т. д. Для выигрыша надо набрать больше половины очков. Предположим, что вам известно, что p = 0.45, и в случае выигрыша вы получаете приз. Если число партий в игре выбирается заранее, то каков будет ваш выбор?

Задачи о совпадениях (45 и 46)

45. Среднее число совпадений
Вот два варианта задачи о совпадениях:
(а). Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?
(б). Секретарша отправляет письма по n различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?

46. Вероятности совпадений
В условиях предыдущей задачи какова вероятность того, что произойдет ровно r совпадений?

47. Выбор наибольшего приданого
Король для испытания кандидата на пост придворного мудреца предлагает ему женитьбу на молодой придворной даме, имеющей наибольшее приданое. Суммы приданых записываются на билетиках и перемешиваются. Наудачу вытягивается билетик, и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает эту леди в жены вместе с приданым, в противном случае - не получает ничего. При отказе от суммы, указанной на первом билете, мудрец должен вытянуть второй билет и отказаться или нет от него и т. д., пока не сделает выбор или не отвергнет все приданые. При дворе короля 100 привлекательных дам, все их приданые различны.
Как должен действовать мудрец?

В предыдущей задаче мудрец не имел информации о распределении чисел на билетах. В следующей задаче это распределение ему известно.

48. Выбор наибольшего случайного числа
В качестве следующей задачи (см. предыдущую задачу "Выбор наибольшего приданого") король предлагает мудрецу выбрать наибольшее из 100 чисел при тех же условиях, что и раньше, но на этот раз число на билете выбирается наудачу среди чисел от 0 до 1 (равномерно распределенные случайные числа).
Какой должна быть стратегия мудреца?

49. Удвоение точности

Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт σ. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого.
Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня?
(Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)

50. Случайное квадратное уравнение
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x² + 2bx + c = 0 вещественны?

Случайные блуждания в дву- и трехмерном пространстве (51 и 52)

51. Двумерное случайное блуждание Выходя из начала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг, либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения и так далее до бесконечности (рис. 2). Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат?

Рис. 2. Часть решетки из точек, проходимых частицей в задаче о двумерном случайном блуждании. На каждом шаге частица сдвигается из данного положения на северо-восток, северо-запад, юго-восток или юго-запад, причем все эти направления равновероятны.

52. Трехмерное случайное блуждание

Как и в предыдущей задаче, частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?

53. Игла Бюффона
На плоскость нанесены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2a. Игла длины 2l (меньшей, чем 2a) брошена наудачу на плоскость.
Какова вероятность того, что она пересечет одну из прямых?

54. Игла Бюффона с вертикальными и горизонтальными прямыми
Предположим, что на плоскость, разграфленную на единичные клетки вертикальными и горизонтальными прямыми, наудачу брошена игла длиной 2l (меньшей, чем 1).
Каково среднее число прямых, пересекаемых иглою?
(Мы считаем, что сторона клетки 2a равна 1, так как можно измерять длину иглы в единицах длины клеток).

55. Длинная игла
Каков ответ в предыдущей задаче, если длина иглы произвольна?

56. Две урны
Две урны содержат одно и то же количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются n (n ≥ 3) шаров с возвращением.
Найти число n и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлечены из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлечены либо все белые, либо все черные шары.

57. Распределение простых делителей
Свяжем с каждым натуральным числом от 1 до N число его простых делителей, сосчитанное с учетом их кратностей (так у числа 12 три простых делителя: две 2 и одна 3). Вычислим относительную частоту таких делителей для различных значений N.
Что можно сказать об этом распределении при N, стремящемся к бесконечности?
Возможно, что читателю пригодится тот факт, что при больших N число простых чисел, не превосходящих N, приближенно равно N/ln(N). Число 1 обычно не считается простым делителем, но нам будет удобно предположить, что 1 есть простой делитель числа 1, но не является простым делителем никакого другого числа.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)