Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Осторожный фальшивомонетчик

Постановка задачи

(а). Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков.

Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

(б). Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на n?

Решение задачи

(а) 

(б). Пусть имеется n ящиков, каждый из которых содержит n монет. Тогда вероятность того, что извлеченная наудачу монета доброкачественна, равна 1 - 1/n, и так как всего имеется n ящиков, то

Вычислим эту вероятность для некоторых значений n.

Бросаются в глаза следующие два обстоятельства. Во-первых, выписанные в таблице числа с ростом n возрастают. Во-вторых, они стремятся к некоторому значению, которое известно математикам и равно e^-1 или 1/e, где e = 2,71828... - основание натуральных логарифмов.

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона для , получим следующее выражение:

или
          (1)
Примечание:  - число сочетаний из m элементов по n.

Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к -1/3!, так как
          (2)

При n, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к

Таким образом, с ростом r выражение стремится к сумме ряда

который является одним из способов вычисления e^-1.

Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная , сходилась бы при больших n к e^-2 и, точно так же, стремится к e^-m. Вообще стремится к e^m при любом (целом или нет) значении m. Эти факты будут использованы в дальнейшем. Более строгое их обоснование можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)