Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Толстая монета

Постановка задачи

Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3?

Для решения этой задачи нужно знакомство с принципом симметрии.

Решение задачи

Услышав впервые эту задачу, покойный великий математик Джон фон Нейман дал ответ с точными тремя знаками за 20 секунд в присутствии публики, которой потребовалось для решения значительно больше времени.

Конечно, для того, чтобы задача имела определенный ответ, надо наложить некоторые условия, упрощающие дело. Материал, из которого изготовлена монета, сила, с которой ее подбрасывают, и свойства поверхности, на которую она падает, должны такими, чтобы задача допускала эмпирическую проверку.

Кажется естественным подобрать эти условия таким образом, чтобы монету можно было рассматривать как вписанную в сферу, центр которой совпадает с центром тяжести монеты. Сама монета при этом трактуется как прямой круговой цилиндр (рис. 10,11).

Рис. 10. "Толстая" монета		Рис. 11. "Толстая" монета как часть сферы

На поверхности сферы выбирается случайная точка, и если радиус, проведенный из центра в эту точку, пересекает боковую поверхность цилиндра, то считается, что монета упала на ребро.

На практике этой ситуации отвечает клейкая поверхность, мягко упав на которую монета опускается либо на ребро либо на одно из оснований (рис. 12).

Рис. 12. Монета упадет на ребро, если проекция из центра тяжести пересекает поверхность цилиндра

Для решения задачи нам понадобится следующий результат. Поверхность куска сферы, заключенного между двумя параллельными плоскостями, пропорциональна расстоянию между этими плоскостями, так что толщина нашей монеты должна составлять 1/3 диаметра сферы. Дадим окончательный ответ в терминах диаметра монеты (рис. 13).

Рис. 13. Чертеж сечения сферы, поясняющий соотношение между радиусом R сферы и радиусом r монеты

Пусть R - радиус сферы, а r - радиус монеты. Согласно теореме Пифагора

Итак, высота ребра монеты составляет около 35% ее диаметра.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)