Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Заплесневевший желатин

Постановка задачи

Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии-плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии.

Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии?

Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу m, то какая доля пластинок содержит ровно m колоний?

Решение задачи

Разобьем поверхность пластинки на n малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна p, а их среднее число есть np = 3. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда n растет, p становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее m = np. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно r колоний на n маленьких площадках равна

где p = m/n. Заменим p на m/n в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче Жадный фальшивомонетчик. Пусть n → ∞. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона

При m = 3 и r = 3 получаем значение 0.224.

То, что m действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно:

Чтобы получить численные результаты для больших значений m, где r = m, можно использовать таблицы или формулу Стирлинга. Последняя дает

Численные примеры:

m	P(m)
4	0.1954	0.200
9	0.1318	0.133
16	0.0992	0.100

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)