Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Рыцари-близнецы

Постановка задачи

(а). Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором, так же как и в теннисе, порядок состязания определяется жребием (см. задачу "Выйдет ли второй в финал?"). Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца.

Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

(б). Каков ответ в случае 2ⁿ рыцарей?

Решение задачи

(а). Обозначим близнецов через A к B. Пусть A занимает высшую ступень турнирной лестницы. Если B занимает смежное место, что происходит с вероятностью 1/7, то они заведомо встретятся в первом туре. Вероятность того, что B находится в паре, соседней с парой A, равна 4/7, и вероятность того, что они встретятся в этом случае, равна 1/7, так как для осуществления этого события каждый должен победить в первом поединке. Наконец, вероятность того, что В находится в нижней половине, равна 4/7, и в этом случае вероятность встречи равна 1/2⁴ = 1/16, так как оба должны выиграть в двух турах. Таким образом, полная вероятность встречи равна

(б). Заметим, что в турнире двух рыцарей близнецы заведомо встретятся. При 2² = 4 участниках вероятность такого поединка равна 1/2, для случая 2³ = 8 рыцарей, как уже было подсчитано, вероятность равна 1/4 = 1/2ⁿ. Кажется естественным предположить, что в турнире 2ⁿ рыцарей искомая вероятность равна 1/2^n - 1.

Докажем справедливость этого предположения с помощью метода математической индукции. Рассмотрим сначала случай, когда рыцари находятся в разных половинах турнирной лестницы. Как известно из задачи о теннисных турнирах, эта вероятность равна 2^n - 1/(2ⁿ - 1). Если A и B находятся в разных половинах турнирной лестницы, то они могут встретиться лишь в финальном поединке. Вероятность выйти в финал для каждого рыцаря есть 1/2^n - 1, так как для осуществления этого события необходимо выиграть во всех предыдущих турах. Вероятность того, что A и B достигнут финала, равна (1/2^n - 1)².

Итак, вероятность встречи рыцарей из разных половин таблицы равна
[2^n - 1/(2ⁿ - 1)]·(1/2^n - 2).

К этой вероятности следует прибавить вероятность поединка близнецов, которые оказались записанными в одну и ту же половину таблицы. Вероятность последнего события равна (2^n - 1 - 1)/(2ⁿ - 1), и, согласно индукционному предположению, вероятность схватки между близнецами в турнире из n - 1 тура равна 1/2^n - 2. Итак, вероятность встречи равна

что и доказывает наше утверждение.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)