Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Испытания до первого успеха

Постановка задачи

Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?

Решение задачи

Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через р вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны (q = 1-p):

Сумма вероятностей равна
p + pq + pq² + ... = p(1 + q + q² + ...) = p/(1 - q) = p/p = 1.

 Среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно
m = p + 2pq + 3pq² + 4pq³ + ...

Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов
qm = pq + 2pq² + 3pq³ + ...

Вычитая второе выражение из первого, находим
m - qm = p + pq + pq² + ...
или
m(1 - q) = 1,    mp = 1,    m = 1/p.

В нашем примере p = 1/6, так что m = 6.

Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно 1 + m, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому
n = p·1 + q(1 + m) = 1 + qm     и     m = 1/p.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)