Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Удвоение точности

Постановка задачи

Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт σ. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого.

Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня?

(Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)

Решение задачи

Да. Пусть A - длина длинного стержня, а B - длина короткого. Можно положить эти стержни рядом и измерить разность длин A - B, а затем приложить их один к другому и измерить сумму длин A + B. Пусть D и S обозначают наблюденные длины A - B и A + B соответственно. Тогда оценка для A есть 1/2(S + D) и оценка для B есть 1/2(S - D). Далее, D = A - B + d, S = A + B + s, где d и s - случайные ошибки. Следовательно,

В среднем ошибка 1/2(d + s) будет нулевой, поскольку d и s имеют средние нуль. Дисперсия оценки A есть дисперсия

Это значение совпадает со значением для дисперсии среднего двух независимых наблюдении. Таким образом, оба наблюдения внесли полный вклад в измерение A. Точно так же дисперсия оценки B равняется σ²/4. Следовательно, делая два измерения - одно для разности, другое для суммы - мы получаем оценки, точность которых равна точности при четырех рениях, по два на каждый стержень в отдельности.

Для получения столь хороших результатов мы должны как можно точнее соединить концы стержней. Если этого сделать нельзя, то можно считать, что в результаты измерений входит ошибка, связанная с неидеальным совпадением концов стержня. Если эта случайная ошибка имеет штандарт σ√2, то одному измерению суммы или разности отвечает штандарт σ√3/√2, и дисперсия нашей оценки A будет равна

При этих предположениях наша точность будет точно такой же, как и точность при 4/3 независимых измерениях вместо 2, но все же больше точности одного прямого измерения.

Мы можем обосновать предположение о том, что ошибка от неточного совпадения концов имеет штандарт σ/√2, следующим образом. Представим себе s (или d) как сумму двух независимых ошибок измерения, каждую с дисперсией σ²/2. Тогда сумма слагаемых ошибок имеет дисперсию, которую мы считали
равной σ². Если мы припишем дисперсию σ²/2 и третьему слагаемому, то такая модель будет согласовываться с исходной.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)