Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Математическая статистика

Связь эмпирических распределений с вероятностными. Проверка статистических гипотез. Статистические оценки.

Связь эмпирических распределений с вероятностными. Проверка статистических гипотез. Статистические оценки.

Выше были изложены лишь некоторые избранные простейшие приёмы статистического описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистического описания интересны, однако, не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистического материала выводов о закономерностях, которым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отдельном случае к тем или иным наблюдённым эмпирическим распределениям.

Например, данные, приведённые в табл. 2, естественно связать с такой теоретической схемой. Заболевание гриппом каждого отдельного работника универмага следует считать случайным событием, т. к. общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь некоторую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (p₁) и для не вдыхавших (p₀), судя по статистическим данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p₁ существенно меньше p₀. Перед математической статистикой возникает задача: по наблюдённым частотам h₁ = 4/501 ≈ 0.008 и h₀ = 150/1825 ≈ 0.082 оценить вероятности p₁ и p₀ и проверить, достаточен ли статистический материал для того, чтобы считать установленным, что p₁ < p₀ (т. е. что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных табл. 2 достаточно убедителен и без тонких средств матстатистики. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.

Данные первого столбца табл. 1 собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр которых равен 13.4 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое может быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображениями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно рассматривать как случайные величины X, подчинённые нормальному распределению вероятностей
.            (1)

Если это допущение верно, то параметры a и σ² - среднее и дисперсию вероятностного распределения - можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (т. к. число наблюдений n = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретической дисперсии σ² предпочитают не выборочную дисперсию D² = S²/n, а несмещённую оценку
s² = S²/(n-l).

Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещённой оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещённой) для σ чаще всего употребляют s. Точность оценок x_ср и s для a и σ указывается соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распределения (1) имеют вид
σ_{x_ср}² = σ²/n ~ s²/n,
σ_s2² = 2σ⁴/(n-1) ~ 2s⁴/n,
σ_S² ~ σ²/2n ~ s²/2n.

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших n. Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших n в предположении нормального распределения (1):
a = x_ср ± s/√n, σ = s ± s/√2n.            (2)

Для данных первого столбца табл. 1 формулы (2) дают
a = 13.416 ±0.008,
σ = 0.110 ± 0.006.
Объём выборки n = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.

При рассмотрении данных следующих столбцов табл. 1, каждый из которых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, установленных лишь в качестве предельных формул при n → ∞, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближённых оценок параметров a и σ по-прежнему употребляются величины x_ср и s, но для оценки точности и надёжности таких оценок необходимо применять специальные методы, годные для малых выборок. При сравнении по правилам математической статистики выписанных в последних строках табл. 1 значений x_ср и s для трёх выборок с нормальными значениями a и σ, оценёнными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не даёт оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка даёт основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а, третья выборка - к заключению об увеличении дисперсии.

Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определённым уровнем значимости (ω<1), т. е. могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью α = 1 - ω. Например, если в предположении нормального распределения и известной теоретической дисперсии σ² производить оценку a по x_ср по правилу
,
то вероятность ошибки будет равна α, связанному с k соотношением (табл. 3):
.

Вопрос о рациональной выборе уровня значимости в данных конкретных условиях является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.)- См. Статистическая гипотеза, Статистическая оценка, Интервальная статистическая оценка, Проверка статистических гипотез, Статистическое оценивание.

См. другие разделы статьи "Математическая статистика":
Определение
Предмет и метод математической статистики
Связь математической статистики с теорией вероятностей
Простейшие приемы статистического описания
Выборочный метод
Дальнейшие задачи математической статистики
Историческая справка

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 345 - 346.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)