Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Нормальное распределение

Нормальное распределение - одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р." применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов). Общее определение нормального распределения сводится к одномерному случаю.

Распределение вероятностей случайной величины X называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности
.   (*)

Семейство (*) зависит, таким образом, от двух параметров a и σ > 0. При этом математическое ожидание X равно a, дисперсия X равна σ², а характеристическая функция имеет вид
.

Кривая (рис. 1) нормального распределения y=p(x; a, σ) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку x = a, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением σ кривая нормального распределения становится всё более островершинной. Изменение a при постоянном σ не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой нормального распределения, всегда равна единице. При a = 0, σ = 1 соответствующая функция распределения равна
.

Рис. 1. Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров a и σ

В общем случае функция распределения Н. p. F(x; a, σ) может быть вычислена по формуле F(x; a, σ) = Φ(t), где t = (x-a)/σ. Для функции Φ(t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства |X - a| > kσ, равная 1 - Φ(k) + Φ(-k), убывает весьма быстро с ростом k (см. табл.).

Во многих практических вопросах при рассмотрении нормальной величины пренебрегают возможностью отклонений от a, превышающих 3σ, - так называемое правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы выше, меньше 0.003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0.67449σ.

Сумма независимых случайных величин X₁, X₂, ..., X_n, имеющих Н. р. с параметрами EX_i = a_i, DX_i = σ_i², i = 1, 2, ..., n, подчиняется Н. р. с параметрами a = a₁ + a₂ + ... + a_n и σ² = σ₁² + σ₂² + ... + σ_n².

Нормальное распределение встречается в большом числе приложений. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей (см. "Теорема Лапласа", "Теорема Ляпунова"). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X₁, X₂, ..., X_s называется многомерным нормальным, если при любых действительных t₁, t₂, ..., t_s случайная величина X₁t₁ + X₂t₂ + ... + X_st_s имеет Н. р. или равна постоянной. Если она ни при каких t₁, t₂, ..., t_s не равна постоянной, то совместное распределение X₁, X₂, ..., X_s имеет плотность вида

- положительно определённая квадратичная форма a₁, a₂, ..., a_s равны математическим ожиданиям X₁, X₂, ..., X_s соответственно, а коэффициенты C и q_kl = q_lk могут быть выражены через дисперсии σ₁² = DX₁, σ₂² = DX₂, ..., σ_s² = DX_s и коэффициенты корреляции ρ_kl между X_k и X_l. Например, двумерное нормальное распределение имеет плотность

где a₁, a₂ и σ₁², σ₂² - математические ожидания и дисперсии величин X и Y, а R - коэффициент корреляции X и Y:
.

Общее количество параметров, задающих нормальное распределение, равно (s+1)(s+2)/2-1 и быстро растёт с ростом s (равно 2 при s=l, 20 при s=5 и 65 при s=10). Многомерное Н. р. служит основной моделью многомерного статистического анализа. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н, р. в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров нормального распределения по результатам наблюдений, см. "Несмещенная оценка", "Статистическая оценка". О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике). Об истории Н. р. в теории вероятностей см, в ст. "Закон Гаусса", "Распределение Гаусса - Лапласа". Термин «нормальное распределение» принадлежит К. Пирсону.

Литература:
• Большев Л.Н,, Смирнов Н.В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983;
• Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее нормированных производных, М., 1960;
• Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969;
• Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 417 - 418.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)