Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Случайные величины

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Предельные теоремы
Случайные процессы

См. также статью "Случайная величина"

Если каждому исходу ω_k испытания T поставлено в соответствие число x_r, говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x₁, x₂, ..., x_s могут быть и равные; совокупность различных значений x_r при r = 1, 2, ..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величина X = i+j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, ..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, ..., 2/36, 1/36.

При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
{X₁ = a₁}, {X₂ = a₂}, ..., {X_n = a_n},     (6)
где a_k - какое-либо из возможных значений величины X_k. Случайные величины называют независимыми, если при любом выборе a_k события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например события
a < X₁ + X₂ + ... + X_n <b
и т. п.

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия (см. также Момент, Семиинвариант).

В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).

Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений теории вероятностей. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т. д. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с соответствующими изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределения вероятностей изменяются (см. "Распределение вероятностей", "Плотность вероятности"). Аналогом классической "равновероятности исходов" здесь служит равномерное распределение рассматриваемых объектов в какой-либо области (именно его имеют в виду, говоря о наудачу взятой из данной области точке, о наудачу взятой секущей данной фигуры и т. п.).

Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа элементарных событий, вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана А.Н.Колмогоровым (1933). Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи методами теории вероятностей прежде всего выделяется множество Ω элементов ω, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и поэтому рассматривается как некоторое множество элементарных событий. С некоторыми из событий A связываются определённые числа P(A), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
2) P(Ω) = 1;
3) если события A₁, A₂, ..., A_n попарно несовместны и A - их сумма, то
P(A) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n)
(аддитивность вероятности).

Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы область определения P(A) была σ-алгеброй и чтобы условие 3) выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий (счётная аддитивность вероятности). Свойства неотрицательности и счётной аддитивности есть основные свойства меры множества. Теория вероятностей может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть теории меры. Основные понятия теории вероятностей получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания - в абстрактные интегралы Лебега, и т. п. Однако основные проблемы Т. в. и теории меры различны. Основным, специфическим для Т. в. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим Т. в. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т. п.

В отношении указанной выше схемы можно сделать следующие замечания. В соответствии с ней в основе каждой вероятностной модели лежит вероятностное пространство, рассматриваемое как тройка (Ω, S, P), где Ω - множество элементарных событий, S - выделенная в Ω σ-алгебра подмножеств, P - распределение вероятностей (счётноаддитивная нормированная мера) на S. Два достижения связаны с этой схемой - определение вероятностей в бесконечномерных пространствах (в частности, вероятностей, связанных с бесконечными последовательностями испытаний и случайными процессами) и общее определение условных вероятностей и условных математических ожиданий (по отношению к данной случайной величине и т. п.).

При последующем развитии теории вероятностей выяснилось, что указанное общее определение вероятностного пространства целесообразно ограничить. Так появились понятия совершенных распределений, плотных распределений и т. п.

Известны и другие подходы к основным понятиям теории вероятностей, например аксиоматизация, при которой основным объектом становятся нормированные булевы алгебры событий. Основное преимущество (в предположении, что рассматриваемая алгебра полна в метрическом смысле) здесь состоит в том, что для любых направленных систем событий выполняются соотношения

Возможна аксиоматизация понятия случайной величины как элемента некоторой коммутативной алгебры, на которой определён линейный функционал (аналог математического ожидания).

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Предельные теоремы
Случайные процессы

См. также статью "Случайная величина"

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 113-117.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)