Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Случайные процессы

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Случайные величины
Предельные теоремы

В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность наряду с одномерными и многомерными случайными величинами рассматривать случайные процессы, т. е. процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Пример случайного процесса - изменение координаты частицы, совершающей броуновское движение. В теории вероятности случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величин X(t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, например, произвольное независимое переменное и тогда обычно говорят о случайной функции, (если t - точка пространства, то - о случайном поле). В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью (или временным рядом). Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для X(t₁), X(t₂), ..., X(t_n) для всевозможных моментов времени t₁, t₂, ..., t_n при любом натуральном n > 0 (т. н. конечномерными распределениями). Наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях - марковские процессы и стационарные случайные процессы; наряду с ними сильно повысился интерес к мартингалам.

Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любых двух моментов времени t₀ и t₁ (гдеt₀<t₁) условное распределение вероятностей X(t₁) при условии, что заданы все значения X(t) при t≤t₀, зависит только от X(t₀) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называются процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени t₀ однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени t₀ однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при t>t0, причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени t₀ не изменяют это распределение.

Подобно тому, как изучение непрерывных детерминированных процессов сводится к дифференциальным уравнениям относительно функций, описывающих состояние системы, изучение непрерывных марковских процессов сводится к дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениям относительно распределения вероятностей процесса.

Вторым крупным направлением случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, т. е. неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий.

Для большей части теории достаточно предположения о стационарности в широком смысле, т. е. требования независимости от t математических ожиданий E X(t) и E X(t)X(t+τ). Из этого предположения вытекает возможность т. н. спектрального разложения

где z(λ) - случайная функция с некоррелированными приращениями. Для стационарных процессов развиты способы наилучшей (в среднем квадратичном) линейной интерполяции, экстраполяции и фильтрации.

Спектральное разложение случайной величины

В настоящее время выделен довольно широкий класс процессов, для которых эффективно решаются задачи наилучшей нелинейной фильтрации, интерполяции и экстраполяции. Существенную часть соответствующего аналитического аппарата составляют стохастические дифференциальные уравнения, стохастические интегралы и мартингалы. Отличительное свойство мартингала X(t) состоит в том, что условное математическое ожидание X(t) при условии, что известно поведение процесса до момента s<t, равно X(s).

Теория случайных процессов тесно связана с классической проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, которые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.

В заключение следует добавить, что логически безупречное определение понятий, связанных со случайными процессами, в рамках указанной выше аксиоматики создавало и создаёт много трудностей теоретико-множественного характера (связанных, например, с определением вероятности, непрерывности или дифференцируемости и т. п. свойств случайных процессов). Поэтому, в частности, в монографиях по теории случайных процессов около половины объёма отводится анализу развития теоретико-множественных конструкций.

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Случайные величины
Предельные теоремы

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 113-117.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)