Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Предельные теоремы

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Случайные величины
Случайные процессы

При формальном изложении теории вероятностей предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над её элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность теории раскрывается только предельными теоремами. Так, теорема Бернулли показывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а теорема Лапласа указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. "Закон больших чисел", "Усиленный закон больших чисел", "Предельные теоремы теории вероятностей"). Пусть
X₁, X₂, ..., X_n, ...      (7)
независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с E X_n = a, D X_n = σ² и Y_n - среднее арифметическое первых n величин из последовательности (7):
Y_n = (X₁ + X₂ + ... + X_n)/n.

В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было ε > 0, вероятность неравенства |Y_n - a| ≤ ε имеет при n→∞ пределом 1 и, таким образом, Y_n, как правило, мало отличается от a. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Y_n от a приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией σ²/n. Таким образом, для вычисления (в первом приближении) вероятностей тех или иных отклонений Y_n от a при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин X_k; достаточно знать лишь их дисперсию. При необходимости увеличить точность приближения необходимо привлекать моменты более высокого порядка.

Эти утверждения могут быть с надлежащими изменениями распространены на случайные векторы (из конечномерных и некоторых бесконечномерных векторных пространств). Условия независимости могут быть заменены условиями "слабой" (в том или ином смысле) зависимости X_n. Известны также предельные теоремы для распределений на группах, для распределений значений арифметических функций и т. д.

В приложениях (в частности, в математической статистике и статистической физике) возникает необходимость аппроксимировать малые вероятности (событий типа |Y_n - a| > ε) с большой относительной точностью. Это приводит к значительным поправкам в аппроксимации нормальным законом.

В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, напр., если X_n - время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение, X₂ - время между первым и вторым возвращениями и т. д., то при очень общих условиях распределение суммы X₁ + ... + X_n (т. е. времени до n-го возвращения) после умножения на n^-1/α (α - постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время до n-го возвращения растёт, грубо говоря, как n^1/α, т. е. быстрее n (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка n). Это обстоятельство видно уже в примере блуждания Бернулли (где проявляется и другой парадоксальный закон - закон арксинуса).

Основным методом доказательства предельных теорем является метод характеристических функций (и близкие к нему методы преобразований Лапласа и производящих функций). В ряде случаев необходимо обращение к методам теории функций комплексного переменного.

Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Случайные величины
Случайные процессы

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 113-117.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)