Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

χ²-распределение

χ²-распределение, хи-квадрат распределение,  с n степенями свободы - распределение вероятностей, заданное плотностью вероятностей

где Γ(λ) - гамма-функция. Примечание: χ²-распределение можно рассматривать как частный случай гамма-распределения.

Рис. 1. Плотность χ2-распределения при различных степенях свободы n

При n ≥ 2 χ²-распределение имеет моду в точке x = n - 2. Характеристическая функция χ²-распределения имеет вид f(t)=(1-2it)^-n/2. Математическое ожидание и дисперсия хи-квадрат распределения равны, соответственно, n и 2n.

Рис. 2. Плотность χ2-распределения при степени свободы n = 4 и функция распределения

Рис. 3. Функция распределения χ2 при различных степенях свободы n

Хи-квадрат распределение с n степенями свободы может быть выведено как распределение суммы квадратов n независимых случайных величин x₁, x₂, ..., x_n, имеющих стандартное нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Сумма независимых случайных величин с n₁, n₂, ..., n_k степенями свободы, соответственно, подчиняется хи-квадрат распределению с n = n₁ + n₂ + ... + n_k степенями свободы.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, χ²-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. χ²-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством χ²-распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев. Так, например, для независимых случайных величин x₁, x₂, ..., x_n с одинаковым нормальным распределением с математическим ожиданием a и дисперсией σ² отношение s²/σ², где
,
подчиняется χ²-распределению с n - 1 степенями свободы при любых значениях a и σ². Этот результат положен в основу построения доверительных интервалов и критерия для проверки гипотезы о неизвестном значении дисперсии в случае, когда среднее значение случайной величины также неизвестно (проверка статистических гипотез и интервальная статистическая оценка). Особую известность в связи с хи-квадрат распределением получил хи-квадрат критерий, основанный на так называемом хи-квадрат статистике Пирсона.

Имеются подробные таблицы χ²-распределения, удобные для статистических расчетов. При больших объемах выборок используют аппроксимацию посредством нормального распределения. При n → ∞, согласно центральной предельной теореме, распределение нормальной величины стремится к нормальному распределению:

более точная аппроксимация:

где  - функция распределения стандартного нормального закона.

Впервые χ²-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 622 - 623.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)