Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20, при n = 400 e = 25 ÷ 30, при n = 1000 e = 35 ÷ 40.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Статистикой критерия Пирсона служит величина
,   (3.91)
где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (3.91) величины с критическим значением χ²_α, найденным по табл. VI приложения для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство
χ² ≤ χ²_α   (3.92)
то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

Пример 3.18. Проверить с помощью критерия согласия χ² гипотезу о нормальном распределении логарифма числа циклов до разрушения при усталостных испытаниях по данным табл. 2.3 и 2.4. Принять уровень значимости α = 0.05.

Все результаты вычислений приведены в табл. 3.18, данные первых трех граф которой заимствованы из табл. 2.4. В связи с малым числом наблюдений объединяем интервалы 1-й со 2-м и 9-й с 10-м и 11-м.

В 4-й графе приводим границы интервалов, выраженные через нормированную случайную величину

где x_ср и s - соответственно выборочное среднее значение и среднее квадратическое отклонение логарифма числа циклов до разрушения образцов. Значения этих оценок были найдены в примере 2.2, x_ср = lg(N) = 6.515 и s = 0.315. С помощью табл. I приложения с учетом (1.29) находим значения функции Лапласа (1.27) для границ интервалов и заносим их в 5-ю графу. Оценка вероятности попадания значений механической характеристики в интервалы (6-я графа) представляет собой разность значений функции Лапласа на правой и левой границе интервала. Если интервалы объединяются, вычисляют разность значений функции на границах объединенного интервала. Сумма чисел p_j, в графе 6 всегда будет равна единице. В 7-ю графу заносят оценки математических ожиданий числа наблюдений по интервалам, которые определяем умножением оценки вероятности p_j на общее число образцов в выборке n =100. Итог 7-й графы должен равняться итогу 3-й графы.

Сумма 9-й графы дает значение статистики χ². В данном случае χ² = 2.547.

По табл. VI приложения для α = 0.05 и k = 8 - 2 - 1 = 5 (8 - число интервалов после объединения, 2 - число параметров, оцениваемых по выборке, (x_ср, s) находим критическое значение критерия χ²_0.05 = 11.1. Условие (3.92) выполняется, значит опытные данные не противоречат нормальному закону распределения, т. е. нулевую гипотезу не отбрасываем. К аналогичному выводу приходим и на основании графического метода (см. рис. 2.4).

Наблюденная в данном случае величина χ² = 2.547 соответствует фактическому уровню значимости α ≈ 0.75 (табл. VI приложения). Это означает, что если бы многократно повторить выборки по n = 100 из генеральной заведомо нормально распределенной совокупности, то значение χ² ≥ 2.547 встречалось бы примерно в 75 %.

Пример 3.19. Проверить с помощью критерия Пирсона нулевую гипотезу о распределении числа циклов до разрушения при усталостных испытаниях по закону Вейбулла - Гнеденко (1.46) для уровня значимости α = 0.06 по данным табл. 2.3 и 2.8.

Оценки параметров функции (1.46) были произведены в примере 2.4 (b = 0.721; x_H = 0.736•10⁶ циклов и c = 3.235•10⁶ циклов).

Вычисление статистики χ² показано в табл. 3.19. В условиях рассматриваемого примера χ² = 35.091.

По табл. VI приложения для α = 0.05 и k = 11 - 3 - 1 =7 (11 - число интервалов после объединения, 3 - число оцениваемых по выборке параметров) находим критическое визчеине критерия Пирсона χ²_0.05 = 14.1. Условие (3.92) не выполняется, значит опытные данные противоречат трехпараметрическому распределению Вейбулла - Гнеденко (1.46), т. е. нулевую гипотезу отвергаем. Нулевую гипотезу отбрасываем даже при уровне значимости α = 0.001, для которого критическое значение критерия χ²_0.001 = 24.3.

К аналогичному выводу приходим и на основании графического анализа (см. рис. 2.5).

См. также:
Критерии согласия, общие положения, графические методы
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Критерий согласия ω²
Критерий согласия Шапиро - Уилка W
Приближенный критерий нормальности распределения

Подготовлено по публикации: Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. - М.: Машиностроение, 1985. - 232 с. Стр. 81 - 83.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)