Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Случайное блуждание

Случайный процесс специального вида, исторически связанный с моделью перемещения частицы под действием некоторого случайного механизма в произвольном фазовом пространстве.

Обычно рассматривается случайное блуждание, порождаемое суммами взаимно независимых одинаково распределённых величин X₁, X₂, ..., X_n или цепями Маркова. Пусть S₀=0, S_n= X₁ + X₂ + ... + X_n, тогда последовательность координат (n, S_n), n=0, 1, 2, ..., описывает траекторию случайного блуждания. Основные черты общих случайных блужданий можно охарактеризовать на примере простейшего случайного блуждания, порождаемого схемой испытаний Бернулли. Описание случайного блуждания принято в терминах частицы, которая движется по точкам вида k (k - целое) оси x. Движение начинается в момент t = 0, и положение частицы меняется только в дискретные моменты времени 0, 1, 2, ... На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину 1 с вероятностями p и q = p-1, соответственно, независимо от предшествующего движения. Обычно случайные блуждания изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось x - за ось ординат. Пусть X_j - случайная величина, равная величине перемещения частицы на j-м шаге, т. е. X₁ = 1 с вероятностью p и X₁ = -1 с вероятностью q. Тогда X₁, X₂, ..., X_n, ... образуют последовательность независимых бернуллиевских случайных величин (схема Бернулли).

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения? >> Решение задачи >>

Координата блуждающей частицы в момент n равна сумме S_n= X₁ + X₂ + ... + X_n. Можно по аналогии определить случайные блуждания по точкам вида kh (h > 0) такое, что координата частицы увеличивается или уменьшается на величину h в дискретные моменты времени 0, ∆t, 2∆t, ... (∆t > 0). График такого случайного блуждания даёт наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причём многие характерные закономерности сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Классическая интерпретация таких процессов - это изменение капитала одного из игроков в задаче о разорении.

Обычно случайное блуждание, как одномерное, так и его многомерное обобщение, используют для приближённого описания процессов диффузии и броуновского движения частиц. Случайное блуждание является примером марковского процесса, и во многих случаях могут быть описаны как цепи Маркова или ветвящиеся процессы. Однако при их анализе возникает ряд специфических задач, например: распределение максимума последовательности сумм, распределение первого момента достижения некоторой точки, возвращение траектории в начало координат. Пусть движение начинается из нуля (при h = 1, ∆t = 1). Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна 1 при p = q =1/2 (симметричный случай) и меньше 1 при p ≠ q. При p > q или p < q частица уходит с вероятностью 1 в +∞ или -∞ соответственно. В симметричном случае время до N-го возвращения в нуль растёт как N², а среднее число возвращений за 2n шагов растёт как √n. Отсюда можно сделать парадоксальный вывод: при p = q =1/2 промежутки между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными. Кроме того, значения доли времени, которое траектория проводит выше оси абсцисс, близкие к 1/2, оказываются наименее вероятными. Точное утверждение даётся так называемым законом арксинуса.

Человеку нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он решает играть в рулетку согласно одной из двух стратегий: ▪   Поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет. ▪   Ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов. Какая из этих двух стратегий лучше? >> Решение задачи >>

Часто рассматривают случайные блуждания с отражающими или поглощающими границами. Наличие в точке поглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестаёт двигаться. При наличии в точке k + 1/2 отражающего экрана частица с вероятностью q переходит из k в k - 1 и с вероятностью p = 1 - q остаётся на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и достижения тех или иных точек служат разностные уравнения. Предельным переходом случайное блуждание сводится к процессам диффузии. Пусть, например, p = q = 1/2, ∆t = 1/N, h = 1/√N, тогда при N → ∞ многие вероятности, вычисленные в схеме случайного блуждания, стремятся к аналогичным вероятностям для процесса броуновского движения. Для более полного описания предельных соотношений необходимо совершить переход от дискретного процесса нарастающих сумм к непрерывному случайному процессу (см. Винеровский процесс).

Схема случайных блужданий оказывается очень удобной для наглядного объяснения общих закономерностей поведения сумм случайных величин. Случайные блуждания возникают как в теоретических задачах, так и в приложениях теории вероятностей, таких, например, как последовательный статистический анализ или теория массового обслуживания.

См. также:
Вероятностные задачи со случайными блужданиями

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 547 - 548.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)