Вероятностные задачи со случайными блужданиями

На краю утеса

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

Разорение игрока

У игрока M имеется 1 доллар, а у игрока N - 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок M более искусен, чем N, так что он выигрывает 2/3 игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для M?

Что произойдет, если Вовочка, имея в кармане 10 юаней, предложит Вам сыграть в орлянку? При игре на кон каждый раз ставится по 1 юаню. Игра заканчивается, когда у одного из игроков закончатся деньги.

Смелая игра и осторожная игра

Человеку нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он решает играть в рулетку согласно одной из двух стратегий:
▪   Поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет.
▪   Ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов.
Какая из этих двух стратегий лучше?

Двумерное случайное блуждание

Выходя из начала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг, либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения и так далее до бесконечности. Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат?

Трехмерное случайное блуждание

Частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?