Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Определение риманова пространства

См. предыдущий раздел: <<< Понятие о римановой геометрии <<<

К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки пространства n измерений определяется n координатами x₁, x₂, ..., x_n. Евклидово n-мерное пространство характеризуется тем, что в нём определено расстояние между любыми двумя точками X, Y, причём в надлежаще выбранных координатах оно выражается формулой

где Δx_i - разности координат точек X, Y. Соответственно риманово пространство характеризуется тем, что в нём в окрестности каждой точки A могут быть введены координаты x₁, x₂, ..., x_n так, что расстояние между точками X, Y, близкими к A, выражается формулой
          (1)
где ε таково, что когда точки X, Y приближаются к A. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками (x_i) и (x_i + dx_i), или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся формулой
          (2)
где коэффициенты g_i,j = g_i,j(x₁, x₂, ..., x_n) суть функции координат (в специальных координатах а при переходе к любым координатам сумма Σ_i(dx_i)² превращается в общего вида положительную квадратичную форму).

Обратно, пусть в каждой точке n-мерного пространства R задана положительная квадратичная форма
Σ_i,jg_i,jdx_idx_j.          (3)

Если определить длину кривой как интеграл от

вдоль этой кривой и расстояние между точками X, Y как минимум (точную нижнюю границу) длин кривых, соединяющих эти точки, то пространство окажется римановым пространством в смысле данного выше определения. Говорят, что форма (3) задаёт метрику (закон измерения расстояний) риманова пространства; выражение (2) называют линейным элементом ds пространства. Определение длины как интеграла от ds соответствует как бы измерению длин «бесконечно малым» масштабом (как это отметил ещё Б.Риман). Таким образом, риманово пространство можно аналитически определить как такое, в котором в каждой точке задана квадратичная форма (3). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения этой метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от x_i к x_i должна оставаться неизменной:
Σ_i,jg_i,jdx_idx_j = Σ_i,jg_i,jdx_idx_j

Так как задание самой формы равносильно заданию коэффициентов g_i,j с указанием этого закона их преобразования, то риманово пространство можно ещё определить как поле дважды ковариантного симметричного (g_i,j = g_j,i) тензора g_i,j; его называют метрическим тензором. Если при этом допустить, что форма (3) может принимать и отрицательные значения, то получают обобщение римановой геометрии, применяемое в общей теории относительности.

Простейший случай риманова пространства представляет евклидово пространство; к нему примыкают два других типа римановых пространств, в которых возможно движение фигур с такой же свободой, как в евклидовом пространстве; при этом под движением понимается преобразование, не меняющее расстояний между точками. Геометрии этих пространств - это геометрия Лобачевского и геометрия Римана (не смешивать с общей римановой геометрией; см. также Неевклидовы геометрии). Таким образом, эти неевклидовы геометрии суть частные случаи римановой геометрии, отвечающие вместе с евклидовой геометрией случаю наибольшей возможной однородности риманова пространства.

Читать дальше:
Понятия и факты римановой геометрии
Приложения и обобщения римановой геометрии

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 529 - 530.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)