Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство - обобщение понятия евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ Д.Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно понятие гильбертова пространства находило всё более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятий математики.

Первоначально гильбертово пространство понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (так называемое пространство l₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x₁, x₂, ...) такие, что ряд x₁² + x₂² + ... сходится. Сумму двух векторов x + y и вектор λx, где λ - действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ...),
λx = (λx₁, λx₂, ...).

Для любых векторов x, y ϵ l₂ формула
(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора x понимается неотрицательное число

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству
|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||.

Последовательность векторов x_k называется сходящейся к вектору x, если ||x_k-x|| → 0 при k → ∞. Пространство l₂ полно: всякая фундаментальная последовательность элементов этого пространства (т. е. последовательность x_n, удовлетворяющая условию ||x_m-x_n|| → 0 при m, n → ∞) имеет предел, принадлежащий l₂. В отличие от евклидовых пространств, гибельтово пространство l₂ бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему в l₂ образуют единичные векторы
e₁ = (l, 0, 0, ...), e₂ = (0, 1, 0, ...), ...
При этом для любого вектора x из l₂ имеет место однозначное разложение x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... по системе {e_n}.

Другим важным примером гильбертова пространства служит пространство L₂[a, b] всех измеримых функций, заданных на отрезке [a, b], для которых конечен интеграл

понимаемый в смысле Лебега. Сложение функций и умножение их на число определяются обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл

Норма в этом случае равна

Роль базиса единичных векторов здесь могут играть любые функции φ_i(x) из L₂, обладающие свойством ортогональности

и нормированности

а также следующим свойством замкнутости (эквивалент полноты): если f(x) принадлежит L₂ и

то f(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль.

В более широком смысле под гильбертовым пространством понимается произвольное бесконечномерное векторное пространство (действительное или комплексное), в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В комплексном случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (x, y), определённую для любой пары x, y элементов из H и обладающую следующими свойствами:
1) (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 в том и только в том случае, если x = 0;
2) (x+y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (λx, y) = λ(x, y) для любого комплексного числа λ;
4) (x, y) = (x, y), где (x, y) означает комплексно сопряжённую величину.

Норма элемента x определяется равенством

Комплексные гильбертовы пространства играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные. Одним из важнейших направлений теории является изучение линейных операторов в таких пространствах. Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные их применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.

Литература:
Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
Люстерник Л.А., Соболев В, И,, Краткий курс функционального анализа, М., 1982;
Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979;
Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, пер. с англ., М., 1970.

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. ***.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)