Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты.

Математическая энциклопедия >> Асимптота >> Определения

Предыдущий раздел: 147. Схема построения графика. Примеры
Следующий раздел: 149. Примеры построения графиков функций

Полезно расширить класс рассматриваемых функций в двух направлениях. Во-первых, мы допустим теперь для функции y = f(x) возможность обращаться в бесконечность для отдельных значений x. Это значит, - если x₀ есть одно из таких значений, что, при приближении x к x₀ с той или с другой стороны, f(x) стремится к +∞ или к -∞. Во-вторых, нас может интересовать поведение функции ив бесконечном промежутке.

Так как размеры чертежа, разумеется, конечны, то в обоих этих случаях приходится довольствоваться частью всего графика. За пределами чертежа стараются оставить такие части графика, о виде которых легко наперед составить себе представление, исходя из того, что начерчено.

Остановимся на случае бесконечного разрыва функции, скажем, при x = x₀. При приближении x к x₀ с одной стороны функция стремится к бесконечности (того или иного знака) монотонно - если, по крайней мере, в конечной части промежутка - производная y' = f'(x) лишь конечное число раз меняет знак. С разных сторон от x₀ (если x₀ не есть конец промежутка) функция может иметь пределы и разных знаков. Во всяком случае, график будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой x = x₀ в верхней или в нижней его части, смотря по знаку бесконечного предела. Эта прямая позволяет отчетливо представить себе вид графика и за пределами чертежа (рис. 1). Примерами могут служить и уже известные нам графики функций y = a/x при x = 0 (рис. 2), y = tg(x) при x = (2k + 1)•π/2 (рис. 3), y = log_a(x) при x = 0 (рис. 4).

Рис. 1. График будет бесконечно приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой в верхней или в нижней его части. Расстояние от графика к этой прямой δ будет стремиться к 0.		Рис. 2. Гипербола y = a/x при различных значениях постоянной a. Ветви гиперболы приближаются к осям абсцисс и ординат.
Рис. 3. Кривые периодических тригонометрических функций y = tg(x) имеют бесконечное множество вертикальных асимптот		Рис. 4. Логарифмические функции ограничены вертикальной асимптотой, совпадающей с осью ординат

В случае бесконечного (в одну сторону или в обе) промежутка, подобную же услугу иногда оказывает горизонтальная или наклонная прямая, к которой график приближается безгранично. В связи с этим, дадим следующее общее определение.

Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние δ от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Только что мы имели дело с вертикальными асимптотами; теперь займемся асимптотами горизонтальными и наклонными - все время для кривой, заданной уравнением y = f(x).

Примеры горизонтальных асимптот нам уже встречались: для кривой y = a/x - прямая y = 0 при x → ±∞ (рис. 2), для кривой y = arctg(x) прямые y = π/2 и y = -π/2, соответственно, при x → +∞ и x → -∞ (рис. 5), для кривой y = a^x - прямая y = 0 при x → -∞, если a > 1 и при x → +∞, если a < 1 (рис. 6).

Рис. 5. Функция y = arctg(x) ограничена двумя горизонтальными линиями y = ±π/2		Рис. 6. Показательная функция ограничена снизу осью абсцисс

Для того чтобы, например, при x → +∞, прямая Y = b служила асимптотой для кривой y = f(x), очевидно (рис. 7), необходимо и достаточно, чтобы было

Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте сводится попросту к вопросу об этом пределе.

Отдельно нужно искать подобный предел и при x → -∞; при этом (как, например, в случае кривой y = arctg(x)) может получиться и другая асимптота.

Рис. 7. График такой функции будет бесконечно приближаться, уходя в бесконечность, к горизонтальной прямой. Расстояние от графика до прямой δ будет стремиться к 0.		Рис. 8. График рассматриваемой функции имеет наклонную асимптоту y = ax + b. Кривая будет бесконечно приближаться к ней.
Рис. 9. Такая гипербола будет иметь две наклонные асимптоты

Переходя к наклонным асимптотам, упомянем, что примерами их могут служить известные читателю из аналитической геометрии асимптоты y = ±(b/a)•x гиперболы
     (1)
(см. также рис. 9).

Предположим теперь, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту
Y = ax + b     (2)
(рис. 8), скажем, со стороны положительной части оси x. Так как разность ординат |y - Y| лишь постоянным множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью x) разнится от расстояния δ, то при x → +∞ одновременно с δ должна стремиться к нулю и эта разность:
     (3)

Разделив на х, получим отсюда:
     (4)
кроме того, равенство (3) непосредственно дает
     (5)

Итак, для того чтобы прямая (2) была асимптотой для данной кривой, необходимо выполнение условий (4) и (5). Обратное рассуждение легко покажет и их достаточность. Вопрос здесь свелся к последовательному разысканию пределов (4) и (5), которыми уже и определятся коэффициенты уравнения прямой (2).

Разумеется, для x → -∞ нужно повторить все исследование.

Например, в случае гиперболы (1), считая x → +∞, имеем

затем,

и мы приходим к известным уже нам асимптотам:

Возвращаясь к задаче о проведении графика функции, теперь мы добавим к сказанному в предыдущем разделе в пунктах 1), 2), 3), что следует еще:

4) определить значения x, обращающие функцию y = f(x) в бесконечность, с учетом знака, и построить соответствующие вертикальные асимптоты;

5) найти горизонтальную или наклонную асимптоту графика (и притом отдельно при x → +∞ и при x → -∞, если промежуток бесконечен в обе стороны).

Предыдущий раздел: 147. Схема построения графика. Примеры
Следующий раздел: 149. Примеры построения графиков функций

См. также:
Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 80.

Публикуется по материалам работы: Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах М. ФИЗМАТЛИТ. Том I, 2001, 680 с. стр. 308 - 311.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)