Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Векторное пространство

Э.Г.Позняк [1]

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;
4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;
5) 1∙x = x;
6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);
7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя);
8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Аналогично определяется понятие векторного пространства над произвольным полем K.

Выражение
α₁e₁ + α₂e₂ + ... + α_ne_n     (*)
называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂, ...e_n с коэффициентами α₁, α₂, ...,α_n. Линейная комбинация (*) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂, ...,α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂, ...e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (*), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (т. е. если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂, ...e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂, ...e_n называют линейно независимыми.

Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂, ...e_n, а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂, ...e_n - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
x = α₁e₁ + α₂e₂ + ... + α_ne_n.
При этом числа α₁, α₂, ...,α_n называют координатами вектора x в данном базисе.

Примеры векторных пространств:

Множество всех векторов 3-мерного пространства образует векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное векторное пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел (λ₁, λ₂, ..., λ_n). Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(λ₁, λ₂, ..., λ_n) + (μ₁, μ₂, ..., μ_n) =
    = (λ₁ + μ₁, λ₂ + μ₂, ..., λ_n + μ_n),
α∙(λ₁, λ₂, ..., λ_n) = (α∙λ₁, α∙λ₂, ..., α∙λ_n).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов: e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, ..., 0), ...e_n = (0, 0, ..., 1).

Множество L всех многочленов α₀ + α₁u + ... + α_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α₀, α₁, ..., α_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует векторное пространство. Многочлены 1, u, u², ..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в L, поэтому L - бесконечномерное векторное пространство. Многочлены степени не выше n образуют векторное пространство размерности n+1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u², ..., uⁿ.

Подпространства

Векторное пространство L' называется подпространством L, если L' является подмножеством L (т. е. каждый вектор пространства L' есть и вектор пространства L) и если для каждого вектора v из подмножества L' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁, v₂ ϵ L') вектор λv (при любом λ) и вектор v₁+v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства L' или L. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂, ..., x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, т. е. векторов вида α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_px_p. В 3-мерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного векторного пространства L линейная оболочка векторов x₁, x₂, ..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства L размерности p. В n-мерном векторном пространстве существуют подпространства всех размерностей, меньших p. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство L' векторного пространства L есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в L'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени ≤n (линейная оболочка многочленов 1, u, u², ..., uⁿ), есть (n+1)-мерное подпространство пространства L всех многочленов.

Для развития геометрических методов в теории векторного пространства нужно указать пути обобщения таких понятий, как модуль (длина) вектора, угол между векторами и т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам x и y из L ставится в соответствие число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y.

См. также: Евклидово пространство, Гильбертово пространство.

Литература:
Александров П.С., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1979;
Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, 3 изд., М., 1984;
Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971;
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., Лийейная алгебра и многомерная геометрия, 2 изд., М., 1974;
Архангельский А.В., Конечномерные векторные пространства, М., 1982.

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 110 - 111.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)