Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Функции Бесселя
в пакете MatLab

Функции Бесселя, или цилиндрические функции представляют собой важный класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения Бесселя
z²y'' + zy' + (z²-v²)y = 0,
где v - произвольный, вообще говоря, комплексный параметр, z - независимое переменное (также комплексное).

Решение приведенного уравнения J_v(x), представляющее собой функцию Бесселя первого рода порядка v в пакете MatLab можно производить с помощью функции besselj:

Jv(X) = besselj(v, X)

Пример:

Построим графики функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков (v = 0, 1) для интервала значений x = [0; 16]:

>> M=[0:0.01:16]';
>> M(:,2:3)=besselj([0 1], M(:,1));
>> plot(M(:,1), M(:,2), '-r')
>> hold on
>> plot(M(:,1), M(:,3), '-g')

Функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков

Функция
[J, ierr] = besselj(v, X)
помимо значения J возвращает код ошибки ierr:

Цилиндрические функции второго рода Y_v(x) (эти функции называют также функциями Вебера или функциями Неймана с обозначением N_v(z)) определяются при помощи функции bessely:

Yv(X) = bessely(v, X)

При помощи этих функций общее решение уравнения Бесселя записывается в виде
y = C₁J_v(z) + C₂Y_v(z)
как при целом, так и нецелом v.

Функция с дополнительным параметром
[Y, ierr] = bessely(v, X)
также позволяет получить код ошибки.

При решении краевых задач для внешних неограниченных областей, содержащих бесконечно удалённую точку, целесообразно применять цилиндрические функции третьего рода, или функции Ганкеля (Ханкеля):
H_v⁽¹⁾(z) = J_v(z) + iN_v(z), H_v⁽²⁾(z) = J_v(z) - iN_v(z).

Hv(1)(x) = besselh(v, 1, X),
Hv(2)(x) = besselh(v, 2, X).

Наряду с указанными к функциям Бесселя относят также так называемые модифицированные цилиндрические функции  I_v(x)  и K_v(x):

Iv(X) = besseli(v, X),
[Iv(X), ierr] = besseli(v, X);
Kv(X) = besselk(v, X),
[Kv(X), ierr] = besselk(v, X).

Функцию K_v(x) называют также функцией Макдональда. Модифицированные цилиндрические функции удовлетворяют дифференциальному уравнению
x²y'' + xy' - (x² + v²)·y = 0,
общее решение которого при всех v представимо в виде линейной комбинации
y = C₁I_v(x) + C₂K_v(x).

См. также: Нули функции Бесселя

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)