Переход на главную страницу сайта “Термист” Термист
Термомеханическое упрочнение арматурного проката
технология, средства, разработка
Главная О сайте Стандарты Технология Устройства
Лаборатория Библиотека Глоссарий Желтые страницы Обратная связь

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство - обобщение понятия евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ Д.Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно понятие гильбертова пространства находило всё более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятий математики.

Первоначально гильбертово пространство понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (так называемое пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x1, x2, ...) такие, что ряд x12 + x22 + ... сходится. Сумму двух векторов x + y и вектор λx, где λ - действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ...),
λx = (λx1, λx2, ...).

Для любых векторов x, y ϵ l2 формула
(xy) = x1y1 + x2y2 + ...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора x понимается неотрицательное число
длина (норма) вектора x в гильбертовом пространстве

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству
|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||.

Последовательность векторов xk называется сходящейся к вектору x, если ||xk-x|| → 0 при k → ∞. Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность элементов этого пространства (т. е. последовательность xn, удовлетворяющая условию ||xm-xn|| → 0 при m, n → ∞) имеет предел, принадлежащий l2. В отличие от евклидовых пространств, гибельтово пространство l2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему в l2 образуют единичные векторы
e1 = (l, 0, 0, ...), e2 = (0, 1, 0, ...), ...
При этом для любого вектора x из l2 имеет место однозначное разложение x = x1e1 + x2e2 + ... по системе {en}.

Другим важным примером гильбертова пространства служит пространство L2[a, b] всех измеримых функций, заданных на отрезке [a, b], для которых конечен интеграл

понимаемый в смысле Лебега. Сложение функций и умножение их на число определяются обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл
Скалярное произведение функционального гильбертова пространства L2

Норма в этом случае равна
Норма функционального гильбертова пространства L2

Роль базиса единичных векторов здесь могут играть любые функции φi(x) из L2, обладающие свойством ортогональности
Ортогональность функционального гильбертова пространства L2
и нормированности
Нормированность функционального гильбертова пространства L2
а также следующим свойством замкнутости (эквивалент полноты): если f(x) принадлежит L2 и
Полнота функционального гильбертова пространства L2
то f(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль.

В более широком смысле под гильбертовым пространством понимается произвольное бесконечномерное векторное пространство (действительное или комплексное), в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В комплексном случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (xy), определённую для любой пары xy элементов из H и обладающую следующими свойствами:
1) (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 в том и только в том случае, если x = 0;
2) (x+y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (λx, y) = λ(x, y) для любого комплексного числа λ;
4) (x, y) = (x, y), где (x, y) означает комплексно сопряжённую величину.

Норма элемента x определяется равенством
длина (норма) вектора x в гильбертовом пространстве

Комплексные гильбертовы пространства играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные. Одним из важнейших направлений теории является изучение линейных операторов в таких пространствах. Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные их применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.

 

Литература:
Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
Люстерник Л.А., Соболев В, И,, Краткий курс функционального анализа, М., 1982;
Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979;
Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, пер. с англ., М., 1970.

 



Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. ***.

 

К началу страницы


Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)