Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Среднее число совпадений

Постановка задачи

Вот два варианта задачи о совпадениях:

(а). Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?

(б). Секретарша отправляет письма по n различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?

Решение задачи

Рассмотрим сначала задачу с колодой карт. Если в колоде 52 карты, то каждая карта с вероятностью 1/52 занимает место, уже занятое такой же картой. Так как общее число возможных мест для каждой карты равно 52, то среднее число совпадений равно 52·1/52 = 1. Таким образом, в среднем происходит только одно совпадение. Если бы колода состояла из n различных карт, то среднее число совпадений прежнему равнялось бы 1, так как n·(1/n) = 1. Этот вывод основывается на теореме о том, что среднее суммы есть сумма средних.

Более формально, с каждой парой карт может быть связана случайная величина X_i, которая равна 1 в случае, если карты одинаковы, и 0, если карты различны. Имеем

Наконец, общее число совпадений равно ∑X_i и в силу уже упоминавшейся теоремы

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)