Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Соотношение между разными задачами о парных днях рождения

Постановка задачи

Пусть P_r обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в r человек имеют один и тот же день рождения.

Каково должно быть n в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы P_r?

Решение задачи

По существу, вопрос состоит в определении числа возможных случаев в задаче о парных днях рождения. В задаче об индивидуальном дне рождения для n людей имеется n возможностей встретить человека, день рождения которого такой же, как у вас. В задаче о парных днях рождения каждый человек сравнивает свой день рождения с r - 1 днями рождения остальных людей. Число пар равно, таким образом, r·(r - 1)/2, что и является числом возможных случаев. Для того чтобы вероятности в двух задачах приблизительно равнялись, должно выполняться соотношение
          (1)

Например, при r = 23 число n должно равняться 23·22/2 = 253, что согласуется с полученным ранее.

Мы уже видели, что при n значительно меньшем по сравнению с N, вероятность того, что ни один из n людей не родился с вами в один и тот же день, приближенно равна e^-n/N. С другой стороны, в задаче о парных днях рождения было показано, что для значений r, малых по сравнению с N, вероятность отсутствия парных дней рождения приблизительно равна e^{-r·(r - 1)/2N}. Для равенства этих двух вероятностей должно иметь место соотношение (1). Полученная аппроксимационная формула поясняет связь этих двух задач. Из сказанного ранее следует, что r·(r - 1)/2 имеет смысл числа возможных случаев, что также дает основание для сопоставления n и r·(r - 1)/2.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)