Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Жадный фальшивомонетчик

Постановка задачи

Чеканщик кладет m фальшивых монет в ящик, содержащий всего n монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из n ящиков и проверяет их.

Какова вероятность того, что в выборке из n монет ровно r фальшивых?

См. также предыдущую задачу "Осторожный фальшивомонетчик".

Решение задачи

Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью m/n фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.

Примечание:  - число сочетаний из m элементов по n.

Исследуем поведение этой вероятности при возрастании n и фиксированных r и m.

Для этого запишем ее в виде

С ростом n 1/r! и m^r не меняются, а n·(n - 1)· ... ·(n-r+1)/n^r стремится к 1, как указано в задаче "Осторожный фальшивомонетчик", стремится к e^-m и стремится к 1 (так как m и r фиксированы). Поэтому при больших n

Сумма этих вероятностей равна:

Ряд, записанный в скобках, является разложением e^m.

Распределение Пуассона

Распределение, задаваемое вероятностями

называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)