Трехмерное случайное блуждание

Поскольку мы знаем, что в случае одного и двух измерений частица возвращается в начало с вероятностью 1, то не будет ли естественно предположить, что она вернется туда заведомо при любом числе измерений? Казалось бы да, но этот ответ не верен.

В нашем случае положение частицы задается тремя координатами, и вероятность того, что все три координаты равны 0 после 2n шагов, есть
P(частица в начале) = P(X=0)•P(Y=0)•P(Z=0) = .

Применим снова формулу Стирлинга. Мы видим, что на 2n-м шаге
P(частица в начале) = 1/(πn)^3/2.

Покажем, что сумма ∑1/n^3/2 ограничена. Заменим для этого 1/n^3/2 площадью прямоугольника с основанием между точками n и n+1 и высотой 1/n^3/2 (рис. 52.1).

Рис. 52.1. Доказательство сходимости ряда ∑1/n3/2

Проведем кривую f(n) = l/(n - 1)^3/2 через вершины правых углов прямоугольников.

Площадь под кривой превосходит площадь соответствующих прямоугольников и

При N → ∞ это выражение стремится к 2(n-1)^1/2 - конечному пределу. Это показывает, что и предел суммы средних конечен.

Мы можем оценить это число, сложив несколько первых членов ряда и приблизив "остаток" суммы соответствующим интегралом, что дает приблизительно 0.315. После 10 или, скажем, 20 членов формула Стирлинга очень точна, и остаток, оцениваемый интегралом, весьма мал. Автор при расчете использовал 18 слагаемых. Число 0.315 есть среднее число возвращений частицы в начало координат. Следовательно, 1/Q = 1 + 0.315, и мы получаем Q = 1/1.315 ≈ 0.761.

Поэтому вероятность P того, что частица вернется в начало координат, приблизительно равна 0.239.

Для читателей, знакомых с результатами о случайных блужданиях, где частица сдвигается в центры граней окружающего куба, а не в его вершины [1], известно, что доля возвращающихся частиц равна приближенно 0.35, так что для восьми равновероятных шагов шансы на возвращение значительно меньше, чем для шести.

Та же техника в случае 4-мерного блуждания, когда для определения вектора, на который сдвигается частица, бросают четыре монеты, показывает, что вероятность возвращения снижается до 0.105.

Список ссылок:

1. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, «Мир», 1964, I т., стр. 353.