Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Ничьи при бросании монеты

Постановка задачи

Игроки A и B в орлянку играют N раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?

Решение задачи

Ниже мы обобщим метод решения задачи "Выборы" и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при N четном и N нечетном) равна

Примечание:  - число сочетаний из m элементов по n.

Эти формулы показывают, что указанная вероятность одна и та же для четного N и для следующего за ним нечетного числа N + 1. Например, когда N = 4, надо применить вторую формулу. Шестнадцатью возможными исходами являются
 ААAA      BAAA      ABBA      BABB
*AAAB      AABB      BABA     *BBAB
*AABA      ABAB      BBAA     *BBBA
 ABAA      BAAB      ABBB     *BBBB
где звездочкой отмечены комбинации с равновесным положением.

Поскольку число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то вторая формула действительно верна для этого значения N.

При N = 2n вероятность x выигрышей A есть . Если x ≤ n, то вероятность ничьей есть 2x/N (на основании задачи "Выборы"), а при x ≥ n эта вероятность равна 2·(N - x)/N. Чтобы получить вероятность ничьей, находим вероятность x выигрышей, умножим ее на условную вероятность ничьей при x выигрышах и просуммируем полученные выражения, что дает
          (1)

Если подставить в это выражение формулу для биномиальных коэффициентов и произвести необходимые сокращения, то с точностью до слагаемого

получим , где суммирование ведется по всем возможным значениям x. Следовательно, мы можем переписать выражение (1) в виде
          (2)

Отсюда видно, что вероятность отсутствия ничьей есть
 ,
что после небольших преобразований может быть записано в виде
,
как было указано выше.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)