Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Ящик с носками

Постановка задачи

В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна 1/2.

(а). Каково минимальное возможное число носков в ящике?
(б). Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?

Решение задачи

Рассмотрим сначала численный пример. Пусть в ящике 5 красных и 2 черных носка; вероятность того, что первый вынутый носок - красный, равна 5/(5 + 2). Если первый носок - красный, то условная вероятность того, что второй носок также красный, равна 4/(4 + 2), так как один красный носок уже вынут. Произведение этих двух чисел дает вероятность того, что оба носка красные:

Это число близко к 1/2, но в условии задачи фигурирует ровно 1/2. Подойдем теперь к задаче алгебраически.

Пусть в ящике r красных и b черных носков. Вероятность того, что первый носок - красный, равна r/(r + b) и при осуществлении этого события условная вероятность того, что второй вынутый носок также красный, есть (r - 1)/(r + b -1). Согласно условиям задачи вероятность того, что оба носка - красные, равняется 1/2, или

Можно начать со значения b = 1 и искать нужное значение r, затем перейти к случаю b = 2 и рассмотреть различные значения r и т. д. Это довольно быстро приводит к решению. Но можно подойти к задаче и на более солидном математическом уровне.

Заметим, что
  при b > 0.

Отсюда следует неравенство

Извлекая квадратные корни, для r > 1 получаем

Из первого неравенства имеем

Из второго неравенства находим

Для b = 1 получаем
2.414 < r < 3.414,
так что можно взять r = 3. При r = 3, b = 1 имеем

Таким образом, минимальное число носков есть 4.

Рассмотрим теперь четные значения b.

b	r между	Подходящее r	P(2 красных носка)
2	4,9 ÷ 5,8	5
4	9,7 ÷ 10,7	10
6	14,5 ÷ 15,5	15

Таким образом, минимальное число носков в ящике есть 21 при условии, что b четно. Если интересоваться всеми значениями r и b такими, что вероятность извлечения двух красных носков равна 1/2, то следует использовать методы теории чисел. Этот вопрос приводит к знаменитому уравнению Пелла. Возьмите, например, r = 85, b = 35.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)