Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

<< Лаборатория << Отсев резко выделяющихся значений << Отсев грубых погрешностей <<

Линейная корреляция с отсевом грубых погрешностей

Имеются 4 524 данных результатов испытаний арматурного проката класса А500С диаметром 12 мм по ДСТУ 3760:2006 (см. Приложение).

Необходимо произвести линейную корреляцию σ_в ср = A + k·σ_т. При этом произвести отсев грубых погрешностей как для исходных данных, так и для наблюдаемого отклонения σ_в ср - σ_набл.

Задачу решим двумя методами: с использованием возможностей таблицы Excel и с применением аппарата MatLab.

Решение задачи с использованием Excel

Для анализа используем таблицу Excel. Для начала скопируем файл из Приложения и экспортируем данные из Ishodn.txt в таблицу.

Рис. 1. Исходные данные

Создаем расчетную таблицу:

В ячейках A2:C4525 располагаются исходные данные.

В ячейках B4527:C4527 и B4528:C4528 - соответственно средние значения и среднеквадратичные отклонения предела текучести и временного сопротивления (B4527=СРЗНАЧ(B2:B4525); B4528=СТАНДОТКЛОН(B2:B4525)).

В ячейках B4529:B4531 располагаем общее количество измерений n (B4529=СЧЁТ(A2:A4525)), коэффициент Стьюдента t_(α, n-2) для уровня значимости 5 % и степени свободы n - 2 (B4530=СТЬЮДРАСПОБР(0.05;B4529-2)) и критическое значение τ - статистики (B4531=B4530*КОРЕНЬ(B4529-1)/КОРЕНЬ(B4529-2+B4530^2)).

В массиве ячеек {B4531:C4531} располагаем коэффициенты линейной корреляции σ_в ср = A + k·σ_т ({=ЛИНЕЙН(C2:C4525;B2:B4525;1;0)}.

В ячейках E2:E4525 вычисляем эмпирические значения временного сопротивления σ_в ср (E2=$C$4535+$B$4535*B2).

В ячейках F2:F4525 вычисляем отклонения эмпирических значений временного сопротивления от фактических σ_в - σ_в ср (F2=C2-E2).

В ячейках F4527:F4528 определены среднее и среднеквадратичное значение отклонений эмпирических значений временного сопротивления от фактических:
F4527=СРЗНАЧ(F2:F4525)   по определению это значение должно равняться нулю,
F4528=СТАНДОТКЛОН(F2:F4525).

В ячейках H2:J4525 вычисляем τ - статистики для предела текучести, временного сопротивления и отклонения эмпирических значений временного сопротивления от фактических:
H2=ABS(B2-B$4527)/B$4528,
I2=ABS(C2-C$4527)/C$4528,
J2=ABS(F2-F$4527)/F$4528.

В ячейках K2:K4525 определяются максимальные значения τ - статистики для каждого испытания (K2=МАКС(H2:J2)).

В ячейке K4527 определяется максимальное наблюдаемое значение τ - статистики для всех испытаний.

После того, как расчетная таблица создана, смотрим на максимальное наблюдаемое значение τ - статистики (ячейка K4527) и максимально допустимое (ячейка B4543). В нашем случае имеем τ_набл = 5.79 > τ_крит = 1.96.

Таким образом, гипотезу об отсутствии резко отличающихся наблюдений отвергаем. Такое наблюдение (хотя бы одно) есть. Необходимо его найти и удалить из выборки. Для этого выделяем всю область данных расчетной таблицы A2:K4525 и вызываем из меню Данные >> Сортировка. В диалоге "Сортировка" выбираем "Столбец K", "по возрастанию". Нас интересует самый низ области данных расчетной таблицы:

Выделяем последнюю строку (4525) и удаляем ее.

Таблица Excel пересчитывает все величины и выдает нам новые значения τ - статистик. Снова выполняется условие τ_набл = 5.55 > τ_крит = 1.96. Поэтому опять сортируем, удаляем, проверяем, сортируем... И так 1 695 раз, пока не получим τ_набл = 1.93 < τ_крит = 1.96.

В результате получаем таблицу с 2 829 данными.

Рис. 2. Данные по корреляционной взаимосвязи после отсева 37 % значений

Искомая корреляция будет иметь вид σ_в ср = 136 Н/мм² + 0.909·σ_т. Корреляция получена для интервала σ_т = 584 ÷ 646 Н/мм². Средние значения предела текучести и временного сопротивления составляют соответственно 614 и 695 Н/мм². Среднеквадратичные отклонения: 16.8 и 16.5 Н/мм². Остаточное среднеквадратичное отклонение: 6.3 Н/мм². Корреляционное отношение равно η² = 1 - S_ост²/S_σ в² = 1 - 6.3²/16.5² = 0.86.

Рис. 3. Линейная корреляция σ_в = 136 Н/мм² + 0.909·σ_т после отсеивания 37 % значений

Решим эту же задачу с использованием аппарата MatLab

Создадим рабочую функцию Lin_Kor_s_ots:

function Lin_Kor_s_ots
 
% В файле Ishodn.txt имеются данные результатов испытаний
% арматурного проката класса А500С диаметром 12 мм по
% ДСТУ 3760:2006. Необходимо произвести линейную
% корреляцию S_в_ср = A + k*S_т. При этом произвести отсев
% грубых погрешностей как для исходных данных, так и для
% наблюдаемого отклонения S_в_ср - S_набл.
 
load Ishodn.txt -ascii % Читаем исходный файл.
                       % Внимание: в исходном файле перед
                       % использованием необходимо удалить
                       % первую строку.
M=zeros(length(Ishodn(:,1)), 9); % Создаем рабочую расчет-
                                 % ную таблицу.
M(:,1:3)=Ishodn; % Копируем исходные данные в расчетную
                 % таблицу:
                 % 1-й столбец - №№ п/п,
                 % 2-й столбец - предел текучести,
                 % 3-й столбец - временное сопротивление.
clear Ishodn;    % Удаляем исходные данные - они уже
                 % сохранены в расчетной таблице.
 
Flag=1;          % Расчетный цикл в теле while должен быть
                 % выполнен хотя бы один раз.
while Flag
    Flag=0;      % На случай, если этого цикла вычислений
                 % будет достаточно.
    St_Sr=mean(M(:,2));   % Среднее значение
                          % предела текучести.
    S_St=std(M(:,2), 1);  % Среднеквадратичное отклонение
                          % предела текучести.
    Sw_Sr=mean(M(:,3));   % Среднее значение
                          % временного сопротивления.
    S_Sw=std(M(:,3), 1);  % Среднеквадратичное отклонение
                          % временного сопротивления.
    n=length(M(:,1));     % Количество измерений.
    t=tinv(0.975, n-2);   % Коэффициент Стьюдента для
                          % уровня значимости 95 % (двух-
                          % стороннего) и n-2 степеней
                          % свободы.
    tau_krit=t.*sqrt(n-1)./sqrt(n-2+t.^2); % Критическое
                          % значение тау-статистики.
    p=polyfit(M(:,2), M(:,3), 1); % Производим линейную
                          % корреляцию.
    M(:,4)=polyval(p, M(:,2)); % 4-й столбец -
                          % эмпирические значения
                          % временного сопротивления по
                          % найденной линейной корреляции.
    M(:,5)=M(:,3)-M(:,4); % 5-й столбец - отклонение
                          % эмпирического значения
                          % временного сопротивления
                          % от наблюдаемого.
    Del_Sr=mean(M(:,5));  % Среднее значение отклонений.
    S_Del=std(M(:,5), 1); % Среднеквадратичное отклонение
                          % наблюдаемых отклонений.
                  % Вычисляем наблюдаемые тау-статистики:
                  % Для предела текучести
    M(:,6)=abs(M(:,2)-St_Sr)./S_St;
                  % Для временного сопротивления
    M(:,7)=abs(M(:,4)-Sw_Sr)./S_Sw;
                  % Для отклонения эмпирических значений
                  % от фактических
    M(:,8)=abs(M(:,5)-Del_Sr)./S_Del;
                  % Максимальная тау-статистика для
                  % каждого наблюдения
    M(:,9)=max(M(:,6:8)')';
                  % Максимальное значение тау-статистики
                  % для всех наблюдений.
                  % Num_max_tau - номер наблюдения
                  % с максимальной тау-статистикой.
    [max_tau, Num_max_tau]=max(M(:,9));
    if max_tau > tau_krit     % Проверяем таблицу на нали-
                              % чие резко отличающихся
                              % наблюдений.
        Flag=1;               % Придется пересчитывать еще
                              % хотя бы один раз.
        M(Num_max_tau, :)=[]; % Удаляем наблюдение с мак-
                              % симальной тау-статистикой.
    end
end
 
% Выводим результат вычислений в виде текстовой строки
disp(['S_в_ср = ' num2str(p(2)) ' + ' num2str(p(1)) '*S_т'])

Обращаем внимание на то, что перед использованием файла Ishodn.txt из него должна быть удалена первая строка.

Запустим функцию Lin_Kor_s_ots:

>> Lin_Kor_s_ots

S_в_ср = 135.9949 + 0.90912*S_т

Получаем коэффициенты линейной корреляции аналогичные тем, которые были получены при использовании таблиц Excel.

В заключение рассмотрим еще один аспект, не относящийся напрямую к рассматриваемому методу исключения резко выделяющихся значений. Одной из основных проблем разработки технологии производства арматурного проката по современным нормативным документам является управление величиной отношения значений временного сопротивления к пределу текучести σ_в/σ_т. Найденная нами корреляционная взаимосвязь между пределом текучести и временным сопротивлением на исследованном участке дает практически линейную зависимость σ_в/σ_т от σ_т. Эта зависимость для выборки после отсева 37 % наблюдений показана на рис. 4. Среднее значение величины σ_в/σ_т для рассматриваемого случая составило 1.13. Среднеквадратичное отклонение - 0.019. Остаточное среднеквадратичное отклонение - 0.0102, корреляционное отношение - η² = 0.26.

Рис. 4. Взаимосвязь между пределом текучести и значением отношения временного сопротивления к пределу текучести σ_в/σ_т в исследуемом прокате.
Остаточное отклонение (при уровне значимости 95 %) составляет ± 0.02.

<< Лаборатория << Отсев резко выделяющихся значений << Отсев грубых погрешностей <<

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)