Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Цилиндрические функции

(Функции Бесселя)

См. также

Важный класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения Бесселя
z²y'' + zy' + (z²-v²)y = 0,     (1)
где v - произвольный, вообще говоря, комплексный параметр, z - независимое переменное (также комплексное). К этому уравнению приводят многие краевые задачи математической физики, связанные с вопросами равновесия (упругого, теплового, электрического) и установившихся колебаний тел цилиндрической формы. Решения, выражаемые рядом
,
где Γ(x) - гамма-функция, при всех v определяют цилиндрическую функцию первого рода с индексом v. При целом индексе v = n эта функция определена всюду на комплексной плоскости переменного z, при любом v - на плоскости с разрезом (-∞, 0); в частности, J_v(x) определена для всех действительных x, 0 ≤ x < +∞.

Такие функции часто называют также Функциями Бесселя.

Цилиндрическая функция нулевого индекса имеет вид
.

Если v = -n - целое отрицательное, то
J_-n(z) = (-1)ⁿ·J_n(z),
т. е. отличается от J_n(z) только постоянным множителем (-1)ⁿ.

Цилиндрическая функция первого рода с цолуцелым индексом v = n+1/2 сводится к элементарным функциям, например,

Функции J_v(z) называют также функциями Бесселя. Однако эти функции и уравнение (1) были известны ещё Л.Эйлеру, который пришёл к ним при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Ф.Бесселя; функция J₀(x) встречается ещё раньше в работе Д.Бернулли о колебаниях тяжёлой цепи (1738), а функция с индексом 1/3 - в письме Я.Бернулли к Г.Лейбницу (1703). Поведение некоторых Цилиндрических функций первого рода для действительных x см. на рисунке.

Если v не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
y = C₁J_v(z) + C₂J_-v(z),   (2)
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные. Если же v = n - целое, то J_n(z) и J_-n(z), как было указано, линейно зависимые, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с цилиндрической функцией первого рода, вводятся также Ц. ф. второго рода, которые можно определить соотношением
;
эти функции называют также функциями Вебера или функциями Неймана (с обозначением N_v(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (1) записывается в виде
y = C₁J_v(z) + C₂Y_v(z)
как при целом, так и нецелом v.

При решении краевых задач для внешних неограниченных областей, содержащих бесконечно удалённую точку, целесообразно применять цилиндрические функции третьего рода, или функции Ганкеля:
H_v⁽¹⁾(z) = J_v(z) + iN_v(z), H_v⁽²⁾(z) = J_v(z) - iN_v(z).

Эти функции имеют наиболее простое асимптотическое поведение в бесконечности при z→∞, они также, подобно J_v(z) и Y_v(z), являются регулярными аналитическими функциями во всей плоскости z с разрезом (-∞, 0).

Линейная комбинация
y = C₁H_v⁽¹⁾(z) + C₂H_v⁽²⁾(z)
также даёт общее решение уравнения (1).

Наряду с указанными к функциям Бесселя относят также так называемые модифицированные цилиндрические функции

Функцию K_v(z) называют также функцией Макдональда. Модифицированные функции Бесселя удовлетворяют дифференциальному уравнению
x²y'' + xy' - (x² + v²)·y = 0,
общее решение которого при всех v представимо в виде линейной комбинации
y = C₁I_v(x) + C₂K_v(x).

С модифицированными функциями Бесселя тесно связаны функции Томсона (Кельвина) ber x, bei x и ker x, kei x, определяемые равенствами
ber x + i·bei x = I₀(√i·x),
ker x + i·kei x = K₀(√i·x).

Важную роль играют асимптотические равенства для бесселевых функций, выражающие их поведение при z→+∞:

из которых, в частности, вытекает, что цилиндрические функции J_v(x) и Y_v(x) имеют бесконечно много действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они близки к нулям функции cos(x-vπ/2-π/4) и sin(x-vπ/2-π/4) соответственно.

Цилиндрические функции изучены весьма детально как в действительной, так и в комплексной областях. Имеются многочисленные таблицы функций Бесселя.

Литература:
Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979. Е. Д. Соломенцев

См. также:
Нули функции Бесселя
Функции Бесселя в математическом пакете MatLab

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 625 - 626.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)