Переход на главную страницу сайта “Термист” Термист
Термомеханическое упрочнение арматурного проката
технология, средства, разработка
Главная О сайте Стандарты Технология Устройства
Лаборатория Библиотека Глоссарий Желтые страницы Обратная связь

Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты.

Математическая энциклопедия >> Асимптота >> Определения

 

Предыдущий раздел: 147. Схема построения графика. Примеры
Следующий раздел: 149. Примеры построения графиков функций

 

Полезно расширить класс рассматриваемых функций в двух направлениях. Во-первых, мы допустим теперь для функции y = f(x) возможность обращаться в бесконечность для отдельных значений x. Это значит, - если x0 есть одно из таких значений, что, при приближении x к x0 с той или с другой стороны, f(x) стремится к +∞ или к -∞. Во-вторых, нас может интересовать поведение функции ив бесконечном промежутке.

Так как размеры чертежа, разумеется, конечны, то в обоих этих случаях приходится довольствоваться частью всего графика. За пределами чертежа стараются оставить такие части графика, о виде которых легко наперед составить себе представление, исходя из того, что начерчено.

Остановимся на случае бесконечного разрыва функции, скажем, при x = x0. При приближении x к x0 с одной стороны функция стремится к бесконечности (того или иного знака) монотонно - если, по крайней мере, в конечной части промежутка - производная y' = f'(x) лишь конечное число раз меняет знак. С разных сторон от x0 (если x0 не есть конец промежутка) функция может иметь пределы и разных знаков. Во всяком случае, график будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой x = x0 в верхней или в нижней его части, смотря по знаку бесконечного предела. Эта прямая позволяет отчетливо представить себе вид графика и за пределами чертежа (рис. 1). Примерами могут служить и уже известные нам графики функций = a/x при x = 0 (рис. 2), y = tg(x) при x = (2k + 1)•π/2 (рис. 3), y = loga(x) при x = 0 (рис. 4).

График будет бесконечно приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной асимптоте   Ветви гиперболы приближаются к горизонтальной и вертикальной асимптотам

Рис. 1. График будет бесконечно приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой в верхней или в нижней его части. Расстояние от графика к этой прямой δ будет стремиться к 0.

 

Рис. 2. Гипербола y = a/x при различных значениях постоянной a. Ветви гиперболы приближаются к осям абсцисс и ординат.

Повторяющиеся тригонометрические кривые y = tg(x) и y = ctg(x) имеют бесконечное множество вертикальных асимптот   Рис. 4. Логарифмические функции ограничены вертикальной асимптотой, совпадающей с осью ординат

Рис. 3. Кривые периодических тригонометрических функций y = tg(x) имеют бесконечное множество вертикальных асимптот

 

Рис. 4. Логарифмические функции ограничены вертикальной асимптотой, совпадающей с осью ординат

В случае бесконечного (в одну сторону или в обе) промежутка, подобную же услугу иногда оказывает горизонтальная или наклонная прямая, к которой график приближается безгранично. В связи с этим, дадим следующее общее определение.

Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние δ от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Только что мы имели дело с вертикальными асимптотами; теперь займемся асимптотами горизонтальными и наклонными - все время для кривой, заданной уравнением y = f(x).

Примеры горизонтальных асимптот нам уже встречались: для кривой y = a/x - прямая y = 0 при x → ±∞ (рис. 2), для кривой y = arctg(x) прямые y = π/2 и y = -π/2, соответственно, при x → +∞ и x → -∞ (рис. 5), для кривой y = ax - прямая y = 0 при x → -∞, если a > 1 и при x → +∞, если a < 1 (рис. 6).

Функция y = arctg(x) имеет две горизонтальные асимптоты   Показательная функция ограничена снизу осью абсцисс

Рис. 5. Функция y = arctg(x) ограничена двумя горизонтальными линиями y = ±π/2

 

Рис. 6. Показательная функция ограничена снизу осью абсцисс

Для того чтобы, например, при x → +∞, прямая Y = b служила асимптотой для кривой y = f(x), очевидно (рис. 7), необходимо и достаточно, чтобы было
Необходимое условие для существования горизонтальной асимптоты

Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте сводится попросту к вопросу об этом пределе.

Отдельно нужно искать подобный предел и при x → -∞; при этом (как, например, в случае кривой y = arctg(x)) может получиться и другая асимптота.

Параметры горизонтальной асимптоты   Параметры наклонной асимптоты

Рис. 7. График такой функции будет бесконечно приближаться, уходя в бесконечность, к горизонтальной прямой. Расстояние от графика до прямой δ будет стремиться к 0.

 

Рис. 8. График рассматриваемой функции имеет наклонную асимптоту y = ax + b. Кривая будет бесконечно приближаться к ней.

Такая гипербола будет иметь две наклонные асимптоты   

Рис. 9. Такая гипербола будет иметь две наклонные асимптоты

 

 

Переходя к наклонным асимптотам, упомянем, что примерами их могут служить известные читателю из аналитической геометрии асимптоты y = ±(b/a)•x гиперболы
Уравнение гиперболы (в общем виде)     (1)
(см. также рис. 9).

Предположим теперь, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту
Y = ax + b     (2)
(рис. 8), скажем, со стороны положительной части оси x. Так как разность ординат |y - Y| лишь постоянным множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью x) разнится от расстояния δ, то при x → +∞ одновременно с δ должна стремиться к нулю и эта разность:
Условие для параметров наклонной асимптоты     (3)

Разделив на х, получим отсюда:
Угол наклона наклонной асимптоты     (4)
кроме того, равенство (3) непосредственно дает
Второй коэффициент для наклонной асимптоты     (5)

Итак, для того чтобы прямая (2) была асимптотой для данной кривой, необходимо выполнение условий (4) и (5). Обратное рассуждение легко покажет и их достаточность. Вопрос здесь свелся к последовательному разысканию пределов (4) и (5), которыми уже и определятся коэффициенты уравнения прямой (2).

Разумеется, для x → -∞ нужно повторить все исследование.

Например, в случае гиперболы (1), считая x → +∞, имеем
Наклон асимптоты для гиперболы
затем,
Второй коэффициент для асимптоты гиперболы
и мы приходим к известным уже нам асимптотам:
Наклонные асимптоты для гиперболы

Возвращаясь к задаче о проведении графика функции, теперь мы добавим к сказанному в предыдущем разделе в пунктах 1), 2), 3), что следует еще:

4) определить значения x, обращающие функцию y = f(x) в бесконечность, с учетом знака, и построить соответствующие вертикальные асимптоты;

5) найти горизонтальную или наклонную асимптоту графика (и притом отдельно при x → +∞ и при x → -∞, если промежуток бесконечен в обе стороны).

 

Предыдущий раздел: 147. Схема построения графика. Примеры
Следующий раздел: 149. Примеры построения графиков функций

 

См. также:
Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 80.



 

Публикуется по материалам работы: Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах М. ФИЗМАТЛИТ. Том I, 2001, 680 с. стр. 308 - 311.

К началу страницы


Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)